【对数正态分布】在概率论与统计学中，对数正态分布是一种连续概率分布，其特点是随机变量的对数值服从正态分布。换句话说，如果一个随机变量 $ X $ 的自然对数 $ \ln(X) $ 服从正态分布，则称 $ X $ 服从对数正态分布。
对数正态分布在金融、工程、生物学等多个领域都有广泛应用，尤其适合描述那些只能取正值且具有长尾特性的数据，如股票价格、收入水平、粒子尺寸等。
对数正态分布的主要特征
| 特征 | 描述 |
| 定义 | 若 $ \ln(X) \sim N(\mu, \sigma^2) $，则 $ X \sim \text{Log-Normal}(\mu, \sigma^2) $ |
| 支持域 | $ X > 0 $ |
| 概率密度函数（PDF） | $ f(x) = \frac{1}{x\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(\ln x - \mu)^2}{2\sigma^2}} $，其中 $ x > 0 $ |
| 均值 | $ \mathbb{E}[X] = e^{\mu + \frac{\sigma^2}{2}} $ |
| 方差 | $ \text{Var}(X) = (e^{\sigma^2} - 1)e^{2\mu + \sigma^2} $ |
| 中位数 | $ e^\mu $ |
| 众数 | $ e^{\mu - \sigma^2} $ |
对数正态分布的应用场景
- 金融：用于建模股票价格和资产回报率。
- 工程：用于可靠性分析和寿命测试。
- 环境科学：用于描述污染物浓度或颗粒大小分布。
- 生物学：用于研究细胞大小或生物体生长速率。
与其他分布的关系
- 与正态分布：若 $ X \sim \text{Log-Normal}(\mu, \sigma^2) $，则 $ \ln(X) \sim N(\mu, \sigma^2) $。
- 与指数分布：当 $ \sigma \to 0 $ 时，对数正态分布趋近于一个确定性值，类似于指数分布的极限情况。
总结
对数正态分布是一种重要的概率模型，适用于描述非负且偏斜的数据。它在多个学科中有着广泛的应用，理解其性质有助于更好地进行数据分析与建模。通过掌握其数学表达式和统计特性，可以更有效地应用于实际问题中。
