【高中数学公式:二项式定理展开式公式是什么】在高中数学中，二项式定理是一个非常重要的知识点，广泛应用于多项式的展开、组合数的计算以及概率论等领域。掌握二项式定理的展开式公式，有助于提高解题效率和理解代数结构。
一、二项式定理的基本概念
二项式定理是用于展开形如 $(a + b)^n$ 的表达式的一种数学方法。其中，$n$ 是一个非负整数，$a$ 和 $b$ 是任意实数或复数。通过该定理，可以将复杂的乘法运算转化为一系列简单的组合数与幂次的乘积之和。
二、二项式定理的展开式公式
二项式定理的展开式为：
$$
(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k
$$
其中：
- $\binom{n}{k}$ 表示组合数，也写作 $C(n, k)$，其计算公式为：
$$
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n - k)!}
$$
- $k$ 从 0 到 $n$ 依次取值，每一项对应不同的组合数与幂次的乘积。
三、二项式展开式的具体形式（以 $n=5$ 为例）
| 项数 $k$ | 项的形式 | 系数 $\binom{5}{k}$ | 展开后形式 |
| 0 | $\binom{5}{0}a^5b^0$ | 1 | $a^5$ |
| 1 | $\binom{5}{1}a^4b^1$ | 5 | $5a^4b$ |
| 2 | $\binom{5}{2}a^3b^2$ | 10 | $10a^3b^2$ |
| 3 | $\binom{5}{3}a^2b^3$ | 10 | $10a^2b^3$ |
| 4 | $\binom{5}{4}a^1b^4$ | 5 | $5ab^4$ |
| 5 | $\binom{5}{5}a^0b^5$ | 1 | $b^5$ |
因此，$(a + b)^5$ 的展开式为：
$$
a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5
$$
四、总结
二项式定理是高中数学中的重要工具，它提供了一种系统化地展开 $(a + b)^n$ 的方式。通过组合数和幂次的结合，可以快速得到展开后的各项。掌握这一公式不仅有助于解决代数问题，还能提升对数学规律的理解能力。
关键词：二项式定理、展开式、组合数、高中数学
