【向量积公式】在向量代数中，向量积（又称叉积或外积）是两个向量之间的一种运算方式，结果是一个与原向量垂直的新向量。向量积在物理、工程和计算机图形学等领域有广泛应用，尤其在计算力矩、磁场方向等方面具有重要意义。
向量积的定义如下：对于两个三维空间中的向量 a = (a₁, a₂, a₃) 和 b = (b₁, b₂, b₃)，它们的向量积 a × b 是一个向量，其方向由右手定则确定，大小等于两个向量所形成的平行四边形的面积。
向量积的公式
向量积的数学表达式为：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{vmatrix}
$$
展开后可得：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}
$$
即：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1)
$$
向量积的性质总结
| 性质 | 描述 | ||||||
| 1. 反交换性 | $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -(\mathbf{b} \times \mathbf{a})$ | ||||||
| 2. 分配律 | $\mathbf{a} \times (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \times \mathbf{b} + \mathbf{a} \times \mathbf{c}$ | ||||||
| 3. 标量乘法 | $k(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = (k\mathbf{a}) \times \mathbf{b} = \mathbf{a} \times (k\mathbf{b})$ | ||||||
| 4. 零向量 | 如果 $\mathbf{a} = \mathbf{0}$ 或 $\mathbf{b} = \mathbf{0}$，则 $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{0}$ | ||||||
| 5. 垂直性 | $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ 与 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 都垂直 | ||||||
| 6. 模长 | $ | \mathbf{a} \times \mathbf{b} | = | \mathbf{a} | \mathbf{b} | \sin\theta$，其中 $\theta$ 是两向量之间的夹角 |
实例说明
假设 $\mathbf{a} = (1, 2, 3)$，$\mathbf{b} = (4, 5, 6)$，则：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
\end{vmatrix}
= (2 \cdot 6 - 3 \cdot 5)\mathbf{i} - (1 \cdot 6 - 3 \cdot 4)\mathbf{j} + (1 \cdot 5 - 2 \cdot 4)\mathbf{k}
$$
$$
= (12 - 15)\mathbf{i} - (6 - 12)\mathbf{j} + (5 - 8)\mathbf{k} = (-3, 6, -3)
$$
总结
向量积是向量代数中非常重要的概念，不仅在数学中有广泛的应用，在物理学和工程学中也扮演着关键角色。掌握其公式和性质，有助于更好地理解和应用这一工具。通过上述表格可以快速查阅向量积的定义、公式及主要性质，便于学习和复习。
